Publication: On a general approach to extinction and blow-up for quasi-linear heat equations
Loading...
Full text at PDC
Publication Date
1993
Advisors (or tutors)
Editors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Pergamon-Elsevier Science
Abstract
The authors study asymptotic behaviour of positive solutions of equations of the type ut =Δφ(u)±Q(u), where φ′ and Q are given positive functions. By determining an auxiliary function F(u) appearing in an expression posed by A. Friedman and B. McLeod, they obtain asymptotic estimates of solutions as t→T, blow-up or extinction time. These estimates have been established by other authors using different methods. Moreover, the paper poses a conjecture that, if the behaviour of u(0,t) as t→T near a blow-up or extinction point is known, all the information about the corresponding asymptotic expansions on small compact subsets near the origin is encoded in the first order ODE φ′(u)ur+rF(u)=0 for r>0 as t→T, where an optimal choice of F(u) is indicated in the paper.
Description
UCM subjects
Unesco subjects
Keywords
Citation
Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазили-нейные уравнения параболического типа, Наука, М., 1967
Friedman A., Partial differential equations of parabolic type, Prentice Hall, New Jersey, 1964
Олейник О. А., Калашников А. С., Чжоу Юй-линь, “Задача Коши и краевые за-дачи для уравнений типа нестационарной фильтрации”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 22:5 (1958), 667–704
Калашников А. С., “Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вы-рождающихся параболических уравнений второго порядка”, Успехи матем. на-ук, 42:2 (1987), 135–176
Fujita H., “On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut = Δu+u1+α”, J. Fac. Sci. Univ. of Tokyo, Sect. IA, 13 (1966), 109–124
Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Режимыс обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, Наука, М., 1987
Bebernes J., Eberly D., Mathematical problems from combustion theory, Appl. Math. Sciences, 83, Springer, Berlin–N. Y., 1989
Weissler F. B., “Single point blow-up of semilinear initial value problem”, J. Different. Equations, 55 (1984), 204–224
Friedman A., McLeod B., “Blow-up of positive solutions of semilinear heat equations”, Indiana Univ. Math. J., 34 (1985), 425–447
Галактионов В. А., “Асимптотика неограниченных решений нелинейного уравне-ния ut = (uδux)x + uβ вблизи «сингулярной» точки”, Докл. АН СССР, 288:6 (1986), 1293–1297
Chen X. Y., Matano H., “Convergence, asymptotic periodicity and finite point blow-up in one-dimensional heat equations”, J. Different. Equations, 78 (1989), 160–190
Friedman A., Herrero M. A., “Extinction properties of semilinear heat equation with strong absorption”, J. Math. Analys. and Appl., 124 (1987), 530–546
Галактионов В. А., Посашков С. А., Уравнение ut = uxx + uβ. Локализация, асимптотическое поведение неограниченных решений, Препринт № 97, ИПМа-тем. АН СССР, М., 1985
Галактионов В. А., Посашков С. А., “Применение новых теорем сравнения к ис-следованию неограниченных решений нелинейных параболических уравнений”, Дифференц. ур-ния, 22:7 (1986), 1165–1175
Giga Y., Kohn R. V., “Characterizing blowup using similarity variables”, Indiana Univ. Math. J., 36 (1987), 1–40
Giga Y., Kohn R. V., “Asymptotically self-similar blow-up of semilinear heat equation”, Communs Pure and Appl. Math., 38 (1985), 297–319
Giga Y., Kohn R. V., “Nondegeneracy of blow-up points for semilinear heat equations”, Communs Pure and Appl. Math., 42 (1989), 845–884
Velázquez J. J. L., Galaktionov V. A., Herrero M. A., “The space structure near a single-point blow-up for semilinear heat equations: a formal approach”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 31:3 (1991), 399–411
Hocking L. M., Stewartson K., Stuart J. T., “A non-linear instability burst in plane parallel flow”, J. Fluid Mech., 51 (1972), 705–735
Dold J. W., “Analysis of the early stage of thermal runaway”, Quart. J. Mech. Appl. Math., 38 (1985), 361–387
Bressan A., “On the asymptotic shape of blow-up”, Indiana Univ. Math. J., 39 (1990), 947–960
Filippas S., Kohn R. V., “Refined asymptotics for the blow-up of ut − Δu = up”, Communs Pure and Appl. Math., 5:7 (1991), 821–870
Galaktionov V. A., “Best possible upper bound for blow-up solutions of the quasilinear heat conduction equation with source”, SIAM J. Math. Analys., 22 (1991), 1293–1302
Galaktionov V. A., On asymptotic self-similar behaviour for quasilinear heat equation: single point blow-up, Rept. № AM-91-09, School of Math. Univ. Bristol, 1991
Галактионов В. А., Посашков С. А., “Оценки локализованных неограниченных решений квазилинейных параболических уравнений”, Дифференц. ур-ния, 23:7 (1987), 1133–1143
Галактионов В. А., Посашков С. А., “Об одном методе исследования неограничен-ных решений квазилинейных параболических уравнений”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 28:6 (1988), 842–854
Bebernes J., Bressan A.„ Lacey A. A., “Total blow-up versus single point blow-up”, J. Different. Equations, 73 (1988), 30–44
Галактионов В. А., Посашков С. А., “Моделирование процессов обострения в за-дачах теплопроводности с нелинейным источником”, Матем. моделирование, 1:12 (1989), 89–108
Bebernes J., Bressan A., Eberly D., “A description of blow-up for the solid fuel ignition model”, Indiana Univ. Math. J., 36 (1987), 295–305
Galaktionov V. A., “On blow-up and degeneracy for the semilinear heat equation with source”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh. A, 115 (1990), 19–24 Lacey A. A., “Global blow-up of a nonlinear heat equation”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh. A, 104 (1986), 161–167
Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Самарский А. А., “О приближенных автомо-дельных решениях одного класса квазилинейных уравнений теплопроводности с источником”, Матем. сб., 124:2 (1984), 163–188
Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Самарский А. А., “О методе стационарных состояний для квазилинейных параболических уравнений”, Матем. сб., 180:8 (1989), 995–1016
Galaktionov V. A., Posashkov S. A., “Single point blow-up for N-dimensional quasilinear equations with gradient diffusion and source”, Indiana Univ. Math. J., 40 (1991), 1041–1060
Галактионов В. А., “Доказательство локализации неограниченных решений ква-зилинейного уравнения теплопроводности с источником”, Матем. моделирова-ние, 1:3 (1989), 75–83
Bellout H., “Blow-up of solutions of parabolic equations with nonlinear memory”, J. Different. Equations, 70 (1987), 42–68