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Cohomological characterization of universal bundles of the Grassmannian of lines
Caracterización cohomológica de fibrados universales de la Grassmaniana de rectas

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Tocino Sánchez, Alicia (2015) Cohomological characterization of universal bundles of the Grassmannian of lines. [Thesis]

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Abstract

La tesis Caracterización Cohomológica de los Fibrados Universales de la Grasmanniana de Rectas se dedica a dar una caracterización mediante anulaciones de cohomología de los productos simétricos de uno de los fibrados de la Grassmanniana de rectas, en particular, del fibrado cociente que tiene rango 2. Probablemente uno de los resultados más importantes sobre fibrados vectoriales sobre un espacio proyectivo es el criterio de Horrocks que dice que un fibrado vectorial sobre el espacio proyectivo de dimension n escinde si y sólo si no tiene cohomología intermedia. Este teorema se ha generalizado a otras variedades projectivas. Por ejemplo G. Ottaviani caracterizó dichos fibrados vectoriales sobre las Grassmannianas de k planos y sobre cuádricas lisas. Una mejora del criterio de Ottaviani, que será el punto de inicio de esta tesis, lo dieron E. Arrondo y F. Malaspina para el caso de las Grassmannianas de rectas. La idea que hay detrás de la prueba de este resultado es bastante simple. Si un fibrado vectorial tiene como sumando directo un fibrado de linea, ésto es equivalente a tener las aplicaciones del fibrado lineal al fibrado que queremos caracterizar y viceversa, cuya composición es no nula. La parte difícil es relacionar la composición de dichas aplicaciones con un par perfecto dado por la dualidad de Serre. Uno podría estar interesado en caracterizar cohomológicamente otros fibrados vectoriales, y no sólo los fibrados lineales. Un resultado del tipo que estamos buscando está hecho por E. Arrondo y B. Graña en el que caracterizan la suma directa de twists de fibrados lineales y del fibrado cociente en la Grassmanniana de rectas en el espacio proyectivo de dimensión 4. Tomaron como punto de partida el criterio dado por G. Ottaviani y que da una caracterización de sumas directas de fibrados lineales. Ya que el fibrado cociente no escinde, tiene que haber alguna hipótesis de ese teorema que no la satisfaga. Hay exactamente una de ellas, y uno es capaz de probar que el resto de hipótesis nos sirven para caracterizar sumas directas de twists de fibrados lineales y de fibrados cocientes. Nuestro objetivo es dar una caracterización para sumas directas de twists de los productos simétricos del fibrado cociente en la Grassmanniana de rectas en el espacio proyectivo de dimensión n. Daremos dicha clasificación para productos simétricos de orden no mayor de n-2. Como ideas principales, usaremas las que ya hemos señalado. Empezaremos por el criterio de escisión dado por E. Arrondo y F. Malaspina. Contrairamente a lo que ocurre en la prueba de E. Arrondo y B. Graña, quitando la única hipótesis del criterio de escisión no será suficiente para caracterizar las sumas directas de twists de fibrados lineales y fibrados cocientes, así que necesitaremos añadir más hipótesis para dicha caracterización. La idea de encontrar un sumando directo del fibrado cociente estará relacionada con la dualidad de Serre. Con todas estas ideas en la cabeza, uno puede ir quitando paso a paso condiciones y añadiendo algunas más, hasta llegar a la clasificación que queríamos. Por otro lado, las técnicas de categorías derivadas es también un modo natural para llegar al tipo de caracterizaciones que acabamos de mencionar. Por lo tanto también estudiamos esos métodos, en particular el teorema de Beilinson, para el caso proyectivo y para Grassmannianas, mediante el cual pudimos realizar un critetio de escisión para la Grassmanniana de rectas. Seguimos los pasos dados por V. Ancona y G. Ottaviani en el caso del espacio proyectivo. Comparamos el criterio que obtenemos con el obtenido por G. Ottaviani, mostrando que es más fuerte, y con el realizado por E. Arrondo and F. Malaspina. En este segundo caso podemos ver fácilmente que esta nueva caracterización hecha usando el teorema de Beilinson tiene muchas más condiciones que la que nosotros hemos tomado como nuestro punto de partida.


Item Type:Thesis
Additional Information:

Tesis inédita de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, Departamento de Álgebra, leída el 22-07-2015

Directors:
DirectorsDirector email
Arrondo Esteban, Enrique
Uncontrolled Keywords:Variedades de Grassmann
Palabras clave (otros idiomas):Grassmann manifolds
Subjects:Sciences > Mathematics > Algebra
ID Code:33592
Deposited On:15 Oct 2015 08:33
Last Modified:06 May 2019 10:59

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