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Polinomios biortogonales y sus generalizaciones: una perspectiva desde los sistemas integrables

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Ariznabarreta García de Cortázar, Gerardo (2018) Polinomios biortogonales y sus generalizaciones: una perspectiva desde los sistemas integrables. [Thesis]

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Abstract

La conexión existente entre los polinomios ortogonales y otras ramas de la matemática, la física o la ingeniería es verdaderamente asombrosa. Además, no hay mejor prueba de la utilidad de estos que el propio crecimiento, avance perpetuo y generalización en diversas direcciones de lo que se entendía por polinomio ortogonal en los albores de la teoría. Conforme el concepto se fue generalizando, también fueron evolucionando las técnicas para su estudio, algunas de estas claramente influenciadas por aquellas disciplinas matemáticas con las que iban surgiendo conexiones. La perspectiva que esta tesis adopta frente a los polinomios ortogonales es un ejemplo de este tipo de influencias, compartiendo herramientas y entrelazandose con la teoría de los sistemas integrables. Una posición privilegiada en esta tesis la ocuparían las matrices de Gram semi in nitas; cada cual asociada a una forma sesquilineal adaptada al tipo de biortogonalidad en cuestión. A estas matrices se les impondrán una serie de condiciones cuyo objeto sería el de garantizar la existencia y unicidad de las secuencias biortogonales asociadas a las mismas. El siguiente paso consistiría en buscar simetrías de estas matrices de Gram. Existen dos razones por las que este esfuerzo resulta ventajoso. En primer lugar, cada simetría encontrada podría traducirse en propiedades de las secuencias biortogonales, por ejemplo: una estructura Hankel de la matriz es equivalente a gozar de la recurrencia a tres términos de los polinomios ortogonales; la simetría propia de las matrices asociadas a pesos clásicos (Hermite, Laguerre, Jacobi) implica la existencia del operador diferencial lineal de segundo orden de que los polinomios clásicos son solución; etc...

Resumen (otros idiomas)

The existing connection between the theory of orthogonal polynomials and other branches of mathematics, physics and engineering is truly astonishing. There is no better proof of the usefulness of the theory than the recognition of its constant development and the wide generalizations that the original meaning of orthogonal polynomial has experienced since the dawn of the theory. The original concepts were generalized at the same time as the techniques for their study. Many of these new techniques were suggested by the new connections that kept appearing with di erent branches of mathematics. The approach that this thesis presents towards the study of the orthogonal polynomials is an example of such an interrelationship among disciplines, sharing tools and ideas with the theory of integrable systems. A privileged role throughout this thesis will be played by the notion of semi in nite Gram matrices. These will be associated to a sesquilinear form suited to the kind of orthogonality under study. Additionally, some conditions will be imposed on the Gram matrix with the aim of guaranteeing the existence and uniqueness of the associated biorthogonal sequences. The following step consists of searching for any symmetry that the Gram matrix may have. There are two main reasons why such a task is worth the e ort. In the rst place, each found symmetry can be translated into a property of the biorthogonal sequences, for example: The Hankel structure of the matrix is equivalent to the well known three term recurrence relation satis ed by the standard orthogonal polynomials; the symmetry that the classical (Hermite, Laguerre, Jacobi) matrices possess induces the existence of the second order linear di erential operator of which the classical orthogonal polynomials are solutions; etc. In the second place, the matrices that codify these kind of symmetries also help to surmise possible deformations of the problem, this is, they suggest wise perturbations of the Gram matrix...

Item Type:Thesis
Additional Information:

Tesis inédita de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Físicas, Departamento de Física Teórica II, leída el 16-06-2017

Directors:
DirectorsDirector email
Mañas Baena,, Manuel
Tempesta, Piergiulio
Uncontrolled Keywords:Polinomios ortogonales
Palabras clave (otros idiomas):Orthogonal polynomials
Subjects:Sciences > Physics > Mathematical physics
ID Code:47616
Deposited On:18 May 2018 09:08
Last Modified:10 Dec 2018 15:09

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