Publication: CW-Decompositions of Plane Algebraic Curves and Milnor Fibers of Non-Isolated Quasi-Ordinary Singularities
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Publication Date
2020-03-09
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Universidad Complutense de Madrid
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Abstract
This is a brief abstract that outlines the topics and contents of this work. The reader interested in a more detailed overview can skip directly to the introduction. The braid monodromy is an invariant of algebraic curves that encodes strong information about their topology. Let C be an affine algebraic plane curve, defined by a polynomial function f, and having a generic projection on the x axis of C². The braid monodromy of C can be presented as a homomorphism
ρ : π1(C\{x1, . . . ,xₘ}) → βₙ,
where x1, . . . ,xₘ are the values of x on which f(x, y) have multiple roots, and βₙ denotes the braid group of n strands. If we see the curve as the image of a multivalued function g, the image under ρ of a given loop is determined by the paths in C² that (x, g(x)) follows when x runs along the loop. The braid monodromy has a long story and its development and applications has passed through the works of Zariski ([44, 45]), van Kampen ([16]), Moishezon and Teicher ([26, 27, 28, 29, 30, 31]), and Carmona ([9]) among many others ([11, 10, 19, 37, 2, 18, 3]). A result by Carmona ([9]) shows that the braid monodromy of a curve C determines the topology of the pair (P², C). He also provided a program that calculates the braid monodromy of a curve from its equation. However, it remained an open problem to find what this topology actually is. This is, given the braid monodromy of C, to find a description for the topology of (C², C) or (P², C). In this work we provide such a presentation for the affine case. It consists of a regular CW decomposition of the pair (D,C∩D), where D is a large enough polydisc in C². The construction uses the presentation of the braid monodromy in the form of local braids and conjugating braids. In this presentation the local braids must be given as an ordered set of independent sub-braids, associated with different preimages of a critical value of a generic projection. The main theorem concerning the algebraic curves states the good definition of this decomposition (Theorem 1.18)...
Este es un breve resumen que describe los temas y contenidos principales de este trabajo. El lector interesado en una descripción más detallada puede saltar directamente a la intriducción. La monodromía de trenzas es un invariante de las curvas algebraicas que codifica fuerte información acerca de su topología. Sea C una curva algebraica afín plana, definida por una función polinómica f, y con una proyección genérica en el eje x de C². La monodromía de trenzas de C puede ser presentada como un homomorfismo ρ : π1(C\{x1, . . . ,xₘ}) → βₙ, donde x1, . . . ,xₘ son los valores de x sobre los cuales f(x, y) tiene raíces múltiples, y βₙ denota el grupo de trenzas de n hebras. Si vemos a la curva como la imagen de una función multivaluada g, la imagen bajo fl de un lazo dado está determinada por los caminos en C² que sigue (x, g(x)) cuando x recorre el lazo. La monodromía de trenzas tiene una larga historia y su desarrollo pasa por los trabajos de Zariski ([44, 45]), van Kampen ([16]), Moishezon y Teicher ([26, 27, 28, 29, 30, 31]) y Carmona ([9]), entre muchos otros ([11, 10, 19, 37, 2, 18, 3]). Un resultado de Carmona ([9]) muestra que la monodromía de trenzas de una curva C determina la topología del par (P2, C). Carmona además proporcionó un programa que calcula la monodromía de trenzas de una curva a partir de su ecuación. Sin embargo, permaneció abierto el problema de determinar en efecto esta topología. Esto es, dada la monodromía de trenzas de C, encontrar una presentación para la topología de (C², C) o (P², C). En este trabajo proporcionamos tal presentación para el caso de curvas afines. La misma consiste en una descomposición CW regular del par (D,C∩D), donde D es un polidisco suficientemente grande en C². La construcción de dicha descomposición utiliza la presentación de la monodromía de trenzas como trenzas locales y trenzas conjugadas. En esta presentación las trenzas locales deben estar dadas como un conjunto ordenado desub-trenzas independientes, asociadas a las diferentes preimágenes de un valor crítico de una proyección genérica. El teorema principal sobre las curvas algebraicas afirma la buena definición de esta descomposición (Teorema 1.18)...
Este es un breve resumen que describe los temas y contenidos principales de este trabajo. El lector interesado en una descripción más detallada puede saltar directamente a la intriducción. La monodromía de trenzas es un invariante de las curvas algebraicas que codifica fuerte información acerca de su topología. Sea C una curva algebraica afín plana, definida por una función polinómica f, y con una proyección genérica en el eje x de C². La monodromía de trenzas de C puede ser presentada como un homomorfismo ρ : π1(C\{x1, . . . ,xₘ}) → βₙ, donde x1, . . . ,xₘ son los valores de x sobre los cuales f(x, y) tiene raíces múltiples, y βₙ denota el grupo de trenzas de n hebras. Si vemos a la curva como la imagen de una función multivaluada g, la imagen bajo fl de un lazo dado está determinada por los caminos en C² que sigue (x, g(x)) cuando x recorre el lazo. La monodromía de trenzas tiene una larga historia y su desarrollo pasa por los trabajos de Zariski ([44, 45]), van Kampen ([16]), Moishezon y Teicher ([26, 27, 28, 29, 30, 31]) y Carmona ([9]), entre muchos otros ([11, 10, 19, 37, 2, 18, 3]). Un resultado de Carmona ([9]) muestra que la monodromía de trenzas de una curva C determina la topología del par (P2, C). Carmona además proporcionó un programa que calcula la monodromía de trenzas de una curva a partir de su ecuación. Sin embargo, permaneció abierto el problema de determinar en efecto esta topología. Esto es, dada la monodromía de trenzas de C, encontrar una presentación para la topología de (C², C) o (P², C). En este trabajo proporcionamos tal presentación para el caso de curvas afines. La misma consiste en una descomposición CW regular del par (D,C∩D), donde D es un polidisco suficientemente grande en C². La construcción de dicha descomposición utiliza la presentación de la monodromía de trenzas como trenzas locales y trenzas conjugadas. En esta presentación las trenzas locales deben estar dadas como un conjunto ordenado desub-trenzas independientes, asociadas a las diferentes preimágenes de un valor crítico de una proyección genérica. El teorema principal sobre las curvas algebraicas afirma la buena definición de esta descomposición (Teorema 1.18)...
Description
Tesis inédita de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, leída el 19/11/2019