Publication: Convergencia-Γ no periódica
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Publication Date
2008
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Universidad Complutense de Madrid
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Abstract
En esta disertación se estudia la convergencia-Gamma de funcionales integrales en el contexto no periódico. En concreto, se introduce una nueva condición suficiente, designada por Composition Gradient Property (CGP), que permite calcular explícitamente la densidad de la energía límite de sucesiones de funcionales integrales no periódicos. La densidad se representa, a través de un problema de minimización, usando la medida de Young asociada a la sucesión de funciones que determinan la sucesión de funcionales. La condición CGP es una condición estructural de la sucesión de aplicaciones, que definen la sucesión de funcionales. Se estudian algunos ejemplos interesantes. A continuación, se estudia la convergencia-Gamma de funcionales cuadráticos con perturbaciones lineales oscilantes, en los contextos periódico, con multi-escalas, y no periódico. En el contexto periódico con multi-escalas, se obtiene una representación completa, de los coeficientes cuadrático y lineal, de la densidad de la energía límite en dos casos distintos. En el primer caso, se considera que ambos, los coeficientes cuadrático y lineal de las energías, oscilan en la misma familia de escalas de oscilación separadas; mientras que en el segundo las oscilaciones son en distintas familias de escalas. Es importante resaltar que el coeficiente lineal homogeneizado depende de la interacción entre los comportamientos oscilantes de los coeficientes cuadrático y lineal, de las densidades de las energías. Finalmente, se estudia la convergencia-Gamma de funcionales cuyas densidades son diferentes potencias, p y q, de la norma del gradiente, que dependen de la estructura espacial laminada. Se concluye que la densidad de la energía límite es una combinación convexa de las diferentes potencias. Además, este resultado se generaliza para sucesiones de funcionales con cualquier densidad convexa con crecimiento no estándar, dependiente de dicha estructura espacial, sin restricciones en los exponentes p y q.
In this dissertation Gamma-convergence of integral functionals, in the general non-periodic setting, is studied. Namely, a new sufficient condition, called Composition Gradient Property (CGP), is introduced in
order to compute explicitly the limit energy density of families of nonperiodic integral functionals. The CGP is a structural condition on the sequence of mappings, which defines the sequence of functionals. Under
this condition, the limit energy density is fully characterized, through a minimum problem, by the Young measure associated with the sequence of
functions which determines the sequence of functionals. Some examples are explored.
On the other hand, Gamma-convergence of quadratic functionals, with oscillating linear perturbations, in the non-periodic and multi-scale periodic settings, is also studied. In the multi-scale periodic setting, an explicit characterization, of the quadratic and linear coefficients, for the limit energy density in two different situations, is achieved. In the first situation
both, the quadratic and the linear coefficients, oscillate at the same family of separated length scales; while in the second one, they oscillate at distinct scales. It is stressed how the homogenized linear coefficients depend on the interaction between the oscillatory behaviours. Finally, Gamma-convergence of sequences of functionals whose densities are powers of the gradient norm, with different exponents depending on a laminate spatial distribution, is analysed through Young measures. This analysis leads to the conclusion that the limit energy density is a convex combination of different powers p and q. The result is generalized to
sequences of functionals with general convex densities satisfying a nonstandard growth condition, which depends on a laminate spatial structure,
without restrictions on p and q.
Description
Tesis de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, Departamento de Matemática Aplicada, leída el 4-12-2007