Publication: Weak and strong topologies in topological abelian group
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Publication Date
2009-01-29
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Universidad Complutense de Madrid, Servicio de Publicaciones
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Abstract
The main topic of this thesis are the weak and strong topologies on abelian groups. The former notion is generally known in the theory of topological abelian groups; the most common example is probably the celebrated Bohr topology. The latter notion is known mainly in the theory of topological vector spaces, as the equally celebrated Mackey topology. This is why, the origin of a “global” study of weak and strong topologies is deeply rooted in the theory of topological vector spaces, where similar notions appeared for the first time (see § for details). A starting step in the foundation of this kind of study in the framework of topological abelian group was done by Chasco, Mart´ın Peinador and Tarieladze in [23]. In this paper, they show — among other results — that it is natural to restrict to the class of locally quasi-convex groups. Such a class of groups is widely known and used in different instances, but we observed that there is a deep lack of knowledge of the quasi-convex subsets, even in thoroughly studied groups like, for example, the integers or the unitary complex circle. The main aim of the present thesis is to offer a contribution to the study begun in [23]. This is done by introducing new notions and proving new results that permit to widen the knowledge on the weak and strong topologies in locally quasi-convex groups. In order to develop this line we need a solid background on the Bohr topology and the theory of the quasi-convex subsets of a topological group. The first part of the thesis is dedicated to this trend.
En el marco de los espacios vectoriales topológicos, nociones como topología débil, topología de Mackey y topología fuerte son primordialmente el objeto de estudio de la teoría de dualidad. La extensión de la teoría de dualidad a la clase más amplia de los grupos topológicos abelianos encuentra serios obstáculos, como por ejemplo la falta de sentido de la noción de convexidad, que es la piedra angular en dicha teoría. A lo largo de la presente Memoria probamos resultados nuevos que permiten ampliar el conocimiento de las topologías débiles y fuertes en los grupos localmente cuasi-convexos. Para lograr nuestro objetivo, hemos consolidado el conocimiento de la topología de Bohr y de la teoría de los subconjuntos cuasi-convexos de un grupo topológico. La Tesis está estructura en tres partes: 1) Los conjuntos cuasi-convexos: sobre la estructura y caracterización de subconjuntos cuasi-convexos. Incluso en grupos elementales como los enteros o el círculo unitario complejo no hay criterios determinantes para dilucidar si un subconjunto es o no cuasi-convexo. Hemos dado luz sobre estos conjuntos, y hemos descrito distintas aplicaciones de interés más general. 2) Nuevos aspectos de la topología de Bohr y otros tipos de topologías "débiles". 3) La topología de Mackey de un grupo topológico abeliano. De hecho, esta definición aparece por primera vez en esta Tesis. El estudio en profundidad de esta topología es la motivacción que subyace en las demás secciones de la Memoria. Hemos avanzado sobre lo que ya se sabía dando resultados nuevos y estructurando más de fondo la teoría. Incluímos resultados obtenidos conjuntamente con D. Dikranjan y con M. Tkachenko, y recogidos en sendos trabajos de próxima publicación. Más publicaciones con los resultados de la Tesis están en proceso de preparación.
En el marco de los espacios vectoriales topológicos, nociones como topología débil, topología de Mackey y topología fuerte son primordialmente el objeto de estudio de la teoría de dualidad. La extensión de la teoría de dualidad a la clase más amplia de los grupos topológicos abelianos encuentra serios obstáculos, como por ejemplo la falta de sentido de la noción de convexidad, que es la piedra angular en dicha teoría. A lo largo de la presente Memoria probamos resultados nuevos que permiten ampliar el conocimiento de las topologías débiles y fuertes en los grupos localmente cuasi-convexos. Para lograr nuestro objetivo, hemos consolidado el conocimiento de la topología de Bohr y de la teoría de los subconjuntos cuasi-convexos de un grupo topológico. La Tesis está estructura en tres partes: 1) Los conjuntos cuasi-convexos: sobre la estructura y caracterización de subconjuntos cuasi-convexos. Incluso en grupos elementales como los enteros o el círculo unitario complejo no hay criterios determinantes para dilucidar si un subconjunto es o no cuasi-convexo. Hemos dado luz sobre estos conjuntos, y hemos descrito distintas aplicaciones de interés más general. 2) Nuevos aspectos de la topología de Bohr y otros tipos de topologías "débiles". 3) La topología de Mackey de un grupo topológico abeliano. De hecho, esta definición aparece por primera vez en esta Tesis. El estudio en profundidad de esta topología es la motivacción que subyace en las demás secciones de la Memoria. Hemos avanzado sobre lo que ya se sabía dando resultados nuevos y estructurando más de fondo la teoría. Incluímos resultados obtenidos conjuntamente con D. Dikranjan y con M. Tkachenko, y recogidos en sendos trabajos de próxima publicación. Más publicaciones con los resultados de la Tesis están en proceso de preparación.
Description
Tesis de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, leída el 05-07-2008