Publication: Aplicaciones de topología geométrica y algebraica al estudio de flujos continuos en variedades
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2009-10-16
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Universidad Complutense de Madrid, Servicio de Publicaciones
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Abstract
En el marco del análisis de flujos continuos en variedades la teoría del índice de Conley juega un papel destacado. En ella se relaciona información local, que involucra al flujo en torno a compactos invariantes aislados, con información global referida a la geometría de la variedad ambiente; esto se efectúa a través de los llamados bloques aislantes. La tesis propone la utilización de unos bloques aislantes especiales, para los que se propone la denominación de “regulares”, que tienen la propiedad distintiva de que la inclusión en ellos del compacto invariante que aíslan es una equivalencia shape. El primer capítulo establece la existencia y unicidad de bloques aislantes regulares, bajo condiciones muy generales, para flujos continuos en 3—variedades. Se exponen además varias aplicaciones inmediatas interesantes. El segundo y tercer capítulos se centran en el análisis de compactos invariantes aislados con shape trivial. En primer lugar se caracterizan estos como aquellos que son celulares, y en segundo lugar se prueba una versión topológica del teorema de Hartman—Grobman para flujos continuos en 3—variedades. Para ello se introduce un nuevo invariante, más fino que el índice de Conley, que llamamos índice local.El cuarto capítulo presenta una situación distinta en la que también existen bloques aislantes regulares, que es la que se refiere a atractores sin explosiones externas. En la línea del trabajo precedente, se utilizan dichos bloques aislantes para estudiar propiedades geométricas de tales atractores, así como su relación con la geometría global del espacio de fases.Los capítulos quinto y sexto analizan aún dos ejemplos más de contextos en los que se tiene de modo natural la existencia de bloques aislantes regulares. En concreto, se estudian las propiedades topológicas y dinámicas del borde de un atractor estable y del borde de la región de atracción de un atractor estable.
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Tesis de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, Departamento de Geometría y Topología, leída el 04-07-2008