Publication: New developments and applications of the inverse problem of the calculus of variations.
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2018-11-09
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Universidad Complutense de Madrid
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Abstract
Gran parte del trabajo incluido en esta tesis tiene un tema común que es el problema inverso del calculo de variaciones. De manera concisa, este problema inverso se refiere a si un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden (SODE para abreviar) es equivalente a un sistema Lagrangiano regular. Este problema se remonta a finales del siglo XIX, momento en el que solo se comprenda completamente el caso unidimensional. Cuarenta años mas tarde, el medallista Fields J.Douglas dio una clasificación para sistemas bidimensionales [55]. Después de esto no se ha clasificado completamente ninguna otra dimensión, pero se ha conseguido una comprensión geométrica mas profunda del problema gracias a las contribuciones de varias personas incluyendo G. Prince, W. Sarlet,M. Crampin, I. Anderson y G. Thompson [49, 144], que hicieron posible la extensión de algunos de los casos de la clasificación de Douglas a dimensiones arbitrarias [3, 47].Las condiciones de Helmholtz son un conjunto bien conocido de ecuaciones algebraicas y ecuaciones en derivadas parciales que son necesarias y suficientes para que una SODE sea variacional, es decir,equivalente a un sistema Lagrangiano regular. Estas condiciones vienen dadas en términos de una matriz de multiplicadores, que corresponde a la matriz Hessiana del Lagrangiano buscado con respecto a las velocidades, y fueron utilizadas por Douglas para describir su clasificación. Hay un teorema de M.Crampin que caracteriza el problema en términos de la existencia de una 2-forma de Poincare-Cartan. Nos referiremos a este resultado como Teorema de Crampin [43]...
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Tesis de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, Departamento de Geometría y Topología, leída el 21-03-2017