Publication: A brief methodological note on chaos theory and its recent applications based on new computer resources
Loading...
Full text at PDC
Publication Date
2020
Authors
Sandubete Galán, Julio E.
Advisors (or tutors)
Editors
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Fundación Universidad de Ciencias Empresariales y Sociales
Abstract
Chaos theory refers to the behaviour of certain deterministic nonlinear dynamical systems whose solutions, although globally stable, are locally unstable. These chaotic systems describe aperiodic, irregular, apparently random and erratic trajectories, i.e., deterministic complex dynamics. One of the properties that derive from this local instability and that allow characterizing these deterministic chaotic systems is their high sensitivity to small changes in the initial conditions, which can be measured by using the so-called Lyapunov exponents. The detection of chaotic behaviour in the underlying generating process of a time series has important methodological implications. When chaotic behaviour is detected, then it can be concluded that the irregularity of the series is not necessarily random, but the result of some deterministic dynamic process. Then, even if such process is unknown, it will be possible to improve the predictability of the time series and even to control or stabilize the evolution of the time series. This article provides a summary of the main current concepts and methods for the detection of chaotic behaviour from time series.
La teoría del Caos se refiere al comportamiento que muestran ciertos sistemas dinámicos no lineales deterministas cuyas soluciones, aunque globalmente estables, resultan localmente inestables. Estos sistemas caóticos describen trayectorias aperiódicas, e irregulares, aparentemente aleatorias y erráticas, esto es, una dinámica compleja determinista. Una de las propiedades que se derivan de esa inestabilidad local y que permiten caracterizar a estos sistemas caóticos deterministas es su alta sensibilidad a los pequeños cambios en las condiciones iniciales, que puede medirse mediante el uso de los denominados exponentes de Lyapunov. La detección de comportamientos caóticos en el proceso subyacente generador de una serie temporal tiene importantes implicaciones metodológicas. Cuando se detecta comportamiento caótico, entonces se puede concluir que la irregularidad de la serie no es necesariamente aleatoria, sino el resultado de algún proceso dinámico determinista. Entonces, aunque dicho proceso sea desconocido, será posible mejorar las predicciones de la serie temporal e incluso controlar o estabilizar la evolución de dicha serie temporal. Este artículo proporciona un resumen de los principales conceptos y métodos actuales para la detección de comportamientos caóticos a partir de series temporales.
La teoría del Caos se refiere al comportamiento que muestran ciertos sistemas dinámicos no lineales deterministas cuyas soluciones, aunque globalmente estables, resultan localmente inestables. Estos sistemas caóticos describen trayectorias aperiódicas, e irregulares, aparentemente aleatorias y erráticas, esto es, una dinámica compleja determinista. Una de las propiedades que se derivan de esa inestabilidad local y que permiten caracterizar a estos sistemas caóticos deterministas es su alta sensibilidad a los pequeños cambios en las condiciones iniciales, que puede medirse mediante el uso de los denominados exponentes de Lyapunov. La detección de comportamientos caóticos en el proceso subyacente generador de una serie temporal tiene importantes implicaciones metodológicas. Cuando se detecta comportamiento caótico, entonces se puede concluir que la irregularidad de la serie no es necesariamente aleatoria, sino el resultado de algún proceso dinámico determinista. Entonces, aunque dicho proceso sea desconocido, será posible mejorar las predicciones de la serie temporal e incluso controlar o estabilizar la evolución de dicha serie temporal. Este artículo proporciona un resumen de los principales conceptos y métodos actuales para la detección de comportamientos caóticos a partir de series temporales.
Description
UCM subjects
Unesco subjects
Keywords
Citation
FORD,J. (1986) “Chaos: Solving the unsolvable, predicting the unpredictable! In Chaotic
dynamics and fractals”, Elservier, pp. 1–52.
GENÇAY, R. & DECHERT, W. D. (1992). “An algorithm for the n lyapunov expo- nents of
an n-dimensional unknown dynamical system”. Physica D: Non- linear Phenomena,
vol. 59(1), pp. 142–157.
GIANNERINI, S. & ROSA, R. (2001). “New resampling method to assess the accu- racy of
the maximal lyapunov exponent estimation”. Physica D: Nonlinear Phenomena,
vol. 155(1-2), pp. 101–111.
GIANNERINI, S. (2002). “Sensitive dependence on initial conditions: chaos and stochastic
processes”. PhD thesis, Università di Bologna.
KANTZ, H. (1994). “A robust method to estimate the maximal lyapunov exponent of a
time series”. Physics Letters A, vol. 185(1), pp. 77 – 87.
KANTZ, H. & SCHREIBER, T. (1997). “Determinism and predictability”. Nonlinear time
series analysis, pp. 42–57.
KATOK, A. (1980). “Lyapunov exponents, entropy and periodic orbits for diffeomorphisms”. Publications Mathématiques de l’IHÉS, vol. 51, pp. 137–173.
LI, T.-Y. & YORKE, J. A. (1975). “Period three implies chaos”. American Mathematical
Monthly, vol. 82, pp. 985–992.
LORENZ, E. N. (1963). “Deterministic nonperiodic flow”. Journal of the Atmospheric
Sciences, vol. 20(2), pp. 130–141.
LORENZ, E. N. (1969). “Atmospheric Predictability as Revealed by Naturally Ocurring
Analogues”. Journal of the Atmospheric Sciences.
LORENZ, E. N. (1995). “The essence of chaos”. University of Washington Press.
LU, Z.-Q. & SMITH, R. L. (1997). “Estimating local lyapunov exponents”. Fields Institute
Communications, vol. 11, pp. 135–151.
MCCAFFREY, D. F., ELLNER, S., GALLANT, A. R. & NYCHKA, D. W. (1992). “Estimating
the lyapunov exponent of a chaotic system with nonparametric regression”. Journal
of the American Statistical Association, vol. 87(419), pp. 682–695.
NYCHKA, D., ELLNER, S., GALLANT, A. R. & MCCAFFREY, D. (1992). “Finding chaos in
noisy systems”. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical
Methodology), vol. 54(2), pp. 399–426.
OSELEDEC, V. (1968). “A multiplicative ergodic theorem. ljapunov characteristic number
for dynamical systems”. Transactions of the Moscow Mathematical Society, vol.
19, pp. 197–231.
OTT, E., GREBOGI, C., & YORKE. (1990). “Controlling chaos”. Physical Review Letters.
Vol. 64, No 11.
ROSENSTEIN, M. T., COLLINS, J. J. & LUCA, C. J. D. (1993). “A practical method for
calculating largest lyapunov exponents from small data sets”. Physica D: Nonlinear
Phenomena, vol. 65(1), pp. 117 – 134.
RUELLE, D. (1993). “Chance and chaos”, vol. 11. Princeton University Press.
RUELLE, D., TAKENS, F. (1971). “On the nature of turbulence”. Communications in
Mathematical Physics, vol. 20(3), pp. 167–192.
SANDUBETE,J. E. & ESCOT, L. (2021). “DChaos: Chaotic Time Series Analysis”, 2020. R
package version vol 13 issue 1, 2021.
SANO, M. & SAWADA, Y. (1985). “Measurement of the lyapunov spectrum from a chaotic
time series”. Physical Review Letters, vol. 55(10), pp. 1082.
SHINTANI, M. AND LINTON, O. (2003). “Is there chaos in the world economy? a nonparametric test using consistent standard errors”. International Economic Review,
vol. 44(1), pp. 331–357.
SHUSTER, G. (1988). “Determinirovannyi khaos (deterministic chaos)”. Moscow: Mir.
TAKENS, F. (1981). “Detecting strange attractors in turbulence. In Dynamical Systems
and Turbulence”, Lecture Notes in Mathematics, pp. 366–381. Springer.
WHANG, Y.-J. AND LINTON, O. (1999). “The asymptotic distribution of nonparamet- ric
estimates of the lyapunov exponent for stochastic time series”. Journal of
Econometrics, vol. 91(1), pp. 1 – 42.
WOLF, A., SWIFT, J. B., SWINNEY, H. L. & VASTANO, J. A. (1985). “De- termining
lyapunov exponents from a time series”. Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 16(3), pp. 285 – 317.