Publication: Cohomología de de Rham y fibraciones de esferas
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2021-06-06
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En este trabajo desarrollamos con detalle la cohomología de de Rham, desde la orientación de variedades, la integración de formas o el teorema de Stokes, pasando por la sucesión de Mayer-Vietoris, hasta la dualidad de Poincaré. Todo ello se hace tanto para las formas diferenciables con soporte compacto como no compacto. En concreto, nos detenemos a estudiar en profundidad el Lema de Poincaré y su formulación en el caso con soporte compacto, obteniendo a partir de él la invarianza homotópica de la cohomología de de Rham. Con estas herramientas calculamos la cohomología de algunos espacios concretos significativos, como las esferas. De ahí pasamos a definir el invariante de Hopf de una función diferenciable entre esferas, cuyo cálculo permite probar la esencialidad de las fibraciones de Hopf. Concluimos probando la esencialidad de estas fibraciones de forma más general como consecuencia del teorema de elevación de homotopía y del teorema de Ehresmann para sumersiones propias.
In this project we carry out a detailed study of the de Rham cohomology, from mannifold orientation, forms integration and Stoke’s theorem, including the Mayer Vietoris sequence, up to Poincar´e’s duality. We do so for both compact support and non compact support differentiable forms. We take special care to prove Poincaré’s Lemma and its equivalent version for the compact support case. With these tools we calculate the cohomology of some significant concrete spaces, like that of spheres. From there we define Hopf’s invariant for a differentiable function between spheres, which allows us to prove these fibrations’ essentiality by calculation of this invariant. We conclude proving this essentiality in a more general fashion as a consequence of the homotopy lifting theorem and Ehresmann theorem for proper submersions
In this project we carry out a detailed study of the de Rham cohomology, from mannifold orientation, forms integration and Stoke’s theorem, including the Mayer Vietoris sequence, up to Poincar´e’s duality. We do so for both compact support and non compact support differentiable forms. We take special care to prove Poincaré’s Lemma and its equivalent version for the compact support case. With these tools we calculate the cohomology of some significant concrete spaces, like that of spheres. From there we define Hopf’s invariant for a differentiable function between spheres, which allows us to prove these fibrations’ essentiality by calculation of this invariant. We conclude proving this essentiality in a more general fashion as a consequence of the homotopy lifting theorem and Ehresmann theorem for proper submersions
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